投资决策经典公式笔记

目录

• 一、基础案例背景
• 二、凯利公式
• 三、均值-方差模型
• 四、夏普比率
• 五、索提诺比率
• 六、破产概率公式
• 七、效用函数
• 八、布莱克-舒尔斯模型简介
• 九、各公式对比总结

一、基础案例背景

有一项投资机会，条件如下：

• 初始投入：100万元
• 成功概率：60%，获得200万元（净盈利100万元）
• 失败概率：40%，本金全部损失（净亏损100万元）
• 净赔率 b = 100/100 = 1（盈利时赚的钱与亏损时亏的钱相等）

该投资的数学期望：

• 期望收益 = 100 × 60% + (-100) × 40% = 60 - 40 = 20万元
• 期望收益率为 20%

由于期望收益为正，该投资在数学上值得参与，但关键在于如何分配资金。

二、凯利公式

2.1 公式定义

凯利公式用于计算在正期望的赌博或投资中，为实现长期资金增长率最大化，每次应投入总资金的最优比例。

标准形式（适用于净赔率为 b 的情形）：

[
f^* = \frac{bp - q}{b}
]

其中：

• f* = 最优投入资金比例
• b = 净赔率（盈利时获得的净收益 / 亏损时的损失额）
• p = 获胜概率
• q = 失败概率 = 1 - p

对数版本（通用形式）：

[
f^* = \arg\max_f E[\ln(1 + f \cdot R)]
]

其中 R 为随机收益率，该形式适用于任意收益分布。

2.2 核心逻辑

凯利公式的本质是最大化几何平均收益率。其背后的直觉是：

• 投注太少，资金增长缓慢
• 投注太多，一旦连续亏损会严重侵蚀本金，长期增长率反而下降
• 存在一个最优比例，使得长期复利增长最快

该公式默认投资者的效用函数为对数效用，即投资者关心的是资金的长期复合增长率。

2.3 案例应用

案例背景：上述投资机会，b = 1，p = 0.6，q = 0.4。

计算过程：

[
f^* = \frac{1 \times 0.6 - 0.4}{1} = 0.2
]

结论：最优投入比例为总资金的20%。

不同资金规模的实操建议：

禁止行为：投入100万元（全仓）。

• 虽然期望收益为正，但有40%的概率全部亏损
• 一旦本金归零，即丧失继续参与后续投资的机会
• 这种情况称为"爆仓风险"，在长期投资中是不可接受的

扩展计算：假设该投资机会可以重复参与，每次投入总资金的20%，则：

• 盈利时，总资金变为 1 + 0.2 × 1 = 1.2倍
• 亏损时，总资金变为 1 - 0.2 = 0.8倍
• 长期几何增长率 = 0.6 × ln(1.2) + 0.4 × ln(0.8) ≈ 0.6 × 0.1823 + 0.4 × (-0.2231) = 0.1094 - 0.0892 = 0.0202，即约2.02%的连续复利增长率

三、均值-方差模型

3.1 公式定义

由哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于1952年提出，核心思想是在给定预期收益水平下最小化投资组合的风险，或在给定风险水平下最大化预期收益。

组合预期收益：

[
E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i E(R_i)
]

组合方差（风险）：

[
\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_{ij}
]

其中：

• w_i = 资产i在组合中的权重
• E(R_i) = 资产i的预期收益率
• σ_i^2 = 资产i的收益方差
• σ_{ij} = 资产i与资产j的协方差
• n = 资产总数

最优化问题（给定预期收益 μ*）：

[
\min_{{w_i}} \sigma_p^2 \quad \text{s.t.} \quad E(R_p) = \mu^*, \quad \sum w_i = 1
]

3.2 核心逻辑

该模型的突破性贡献在于引入"协方差"概念：

• 资产之间的相关性影响组合的整体风险
• 即使单个资产风险很高，通过与其他低相关或负相关资产组合，可以降低整体风险
• 存在一条"有效前沿"（Efficient Frontier），代表在每一收益水平下风险最小的组合

有效前沿的数学表达：在所有可行组合中，最小方差组合与最大收益组合之间的边界曲线。

3.3 案例应用

案例背景：除了上述投资机会（称为资产A），投资者还持有以下资产：

• 银行存款（资产B）：年化收益率2%，标准差0%（无风险）
• 债券基金（资产C）：年化收益率5%，标准差8%，与A的相关系数为-0.2

计算过程：

设投资于A的比例为 w，B为 1 - w（先简化两资产情形，B为无风险资产）。

组合预期收益：
[
E(R_p) = w \times 20\% + (1-w) \times 2\% = 2\% + 18\% \times w
]

组合风险（仅考虑A的风险，因为B无风险）：
[
\sigma_p = w \times 98\%
]

注意：A的收益率标准差约为98%（因为60%概率盈利100%，40%概率亏损100%）。

不同权重的组合表现：

结论：

• 如果投资者只追求收益最大化，应100%投入A
• 如果投资者追求风险-收益平衡，应根据自身风险承受能力选择权重
• 加入低相关资产（如债券）可以在不牺牲过多收益的情况下降低组合波动

四、夏普比率

4.1 公式定义

夏普比率衡量每承担一单位总风险（标准差）所能获得的超额回报，由威廉·夏普（William Sharpe）于1966年提出。

[
\text{Sharpe Ratio} = \frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_p}
]

其中：

• E(R_p) = 投资组合的预期收益率
• R_f = 无风险利率（通常使用国债收益率）
• σ_p = 投资组合收益率的标准差（总风险）

4.2 核心逻辑

夏普比率的核心思想是"风险不是坏东西，但需要被补偿"：

• 分子：超额收益，即承担风险获得的额外回报
• 分母：总风险，包括上行波动和下行波动
• 比率越高，表示单位风险获得的超额回报越多

评价标准：

• Sharpe > 1：优秀
• Sharpe 在 0.5 - 1：良好
• Sharpe 在 0 - 0.5：一般
• Sharpe < 0：不值得投资（收益低于无风险利率）

4.3 案例应用

案例背景：评估上述A投资机会。

参数设定：

• E(R_p) = 20%（预期收益率）
• R_f = 2%（无风险利率）
• 收益分布：60%概率收益+100%，40%概率收益-100%

标准差计算：
[
E(R^2) = 0.6 \times (1.0)^2 + 0.4 \times (-1.0)^2 = 1.0
]
[
\text{Var}(R) = E(R^2) - [E(R)]^2 = 1.0 - (0.2)^2 = 0.96
]
[
\sigma = \sqrt{0.96} \approx 0.98 = 98\%
]

夏普比率计算：
[
\text{Sharpe} = \frac{20\% - 2\%}{98\%} \approx 0.184
]

结论：夏普比率约为0.18，远低于1.0，表明该投资的风险调整后收益较低。虽然期望收益为正，但承担的风险过大，性价比不高。

对比参考：

• 美国标普500指数的长期夏普比率约为0.4-0.5
• 优秀对冲基金可达到0.8-1.0
• 本案例的0.18提示投资者应降低仓位或寻找更好的投资机会

五、索提诺比率

5.1 公式定义

索提诺比率是夏普比率的改进版本，由弗兰克·索提诺（Frank Sortino）提出。区别在于分母只计算下行风险（亏损风险），而不惩罚上行波动。

[
\text{Sortino Ratio} = \frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_{\text{downside}}}
]

其中下行标准差的计算方法：
[
\sigma_{\text{downside}} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \min(R_i - R_{\text{MAR}}, 0)^2}
]

或连续形式：
[
\sigma_{\text{downside}} = \sqrt{E[\min(R - R_{\text{MAR}}, 0)^2]}
]

其中 R_MAR 为最低可接受收益率（通常取无风险利率）。

5.2 核心逻辑

夏普比率将上涨波动和下跌波动都视为"风险"，但这与投资者的实际感受不符：

• 价格上涨带来的波动对投资者有利，不应被惩罚
• 价格下跌带来的波动才是真正的风险

索提诺比率只关注下行风险，更符合投资者的风险感知。

5.3 案例应用

案例背景：同样的投资机会A。

参数设定：

• R_f = 2%（MAR取无风险利率）
• 收益分布：60%概率+100%，40%概率-100%

下行偏差计算：
只考虑低于2%的部分：

• 盈利情景（+100%）：高于MAR，贡献为0
• 亏损情景（-100%）：低于MAR，偏差为 -100% - 2% = -102%

[
\sigma_{\text{downside}} = \sqrt{0.6 \times 0^2 + 0.4 \times (-1.02)^2} = \sqrt{0.4 \times 1.0404} = \sqrt{0.41616} \approx 0.645 = 64.5\%
]

索提诺比率计算：
[
\text{Sortino} = \frac{20\% - 2\%}{64.5\%} \approx 0.279
]

结论：索提诺比率约为0.28，虽然高于夏普比率的0.18，但仍然较低。这说明该投资的下行风险依然很大，"赔光"这一极端结果严重拖累了风险调整后收益。

对比说明：

• 如果投资回报呈正态分布，夏普和索提诺差别不大
• 如果投资有"赔光"的极端尾部风险，索提诺会明显低于夏普，更早发出警示
• 本案例中索提诺比率比夏普比率高，是因为上行波动较大拉高了总标准差，但下行风险依然严重

六、破产概率公式

6.1 公式定义

赌徒破产问题研究的是：在重复赌博中，一个拥有有限资金的赌徒最终输光所有资金（破产）的概率。

简化形式（单次下注比例固定，每注为1个单位）：

[
P(\text{破产}) = \frac{(q/p)^n - (q/p)^N}{1 - (q/p)^N}
]

其中：

• p = 单次获胜概率
• q = 单次失败概率 = 1 - p
• n = 初始资金（以最小下注单位计）
• N = 目标资金（达到即停止，若N→∞则简化）

当目标趋于无穷时（无限继续）：

若 p > q：
[
P(\text{破产}) = \left(\frac{q}{p}\right)^n
]

若 p ≤ q：
[
P(\text{破产}) = 1
]

6.2 核心逻辑

即使每次赌博的期望收益为正，如果下注比例过高，长期来看破产概率仍然很高。原因在于：

• 资金是有限的，而亏损可能连续发生
• 一旦资金归零，就无法继续参与正期望的游戏
• 分散下注次数可以降低单次破产的风险

该公式揭示了一个重要原则：正的期望收益不等于安全的投资策略。

6.3 案例应用

案例背景：投资者拥有100万元资金，每次参与该投资机会的最低金额为20万元（即每次下注1个单位，共有5次机会），也可选择全仓参与（1次机会）。

情形一：全仓参与（n = 1）

[
P(\text{破产}) = \left(\frac{0.4}{0.6}\right)^1 = \frac{2}{3} \approx 66.7\%
]

或直接计算：40%的概率一次亏光。

情形二：每次投入20万元（n = 5）

[
P(\text{破产}) = \left(\frac{0.4}{0.6}\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^5 \approx 0.1317 = 13.2\%
]

情形三：每次投入10万元（n = 10）

[
P(\text{破产}) = \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \approx 0.0173 = 1.73\%
]

不同下注比例的破产概率对比：

结论：

• 全仓参与的破产概率高达40%，风险极高
• 凯利建议的20%比例使破产概率降至13%，大幅改善
• 进一步降低到10%可使破产概率降至约1.7%，但会牺牲增长速率
• 这是凯利公式需要与个人风险偏好结合的重要原因

七、效用函数

7.1 公式定义

效用函数用于量化投资者对不同财富水平的主观满意程度，由约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）和奥斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern）提出。

常用形式：常相对风险厌恶效用（CRRA，Constant Relative Risk Aversion）

[
U(W) = \frac{W^{1-\gamma}}{1-\gamma}, \quad \gamma > 0, \gamma \neq 1
]

当 γ = 1 时，取极限情况：
[
U(W) = \ln(W)
]

其中：

• W = 财富水平
• γ = 相对风险厌恶系数（Arrow-Pratt度量）

不同 γ 值的含义：

• γ = 0：风险中性，只关心期望收益
• γ = 1：对数效用（凯利公式的隐含假设）
• γ = 2：中度风险厌恶
• γ = 3：高度风险厌恶
• γ → ∞：极度风险厌恶（只关心最坏情况）

7.2 核心逻辑

不同的人面对同样的收益和风险，感受完全不同：

• 对于100万元的损失，一个亿资产的投资者和一百万资产的投资者感受差异巨大
• 效用函数将客观的货币收益转化为主观的"效用"，从而可以最大化个人满意度

在不确定条件下，投资者最大化期望效用的决策原则为：
[
\max_f E[U(W_0(1 + f \cdot R))]
]

其中 W_0 为初始财富，f 为投资比例，R 为随机收益率。

7.3 案例应用

案例背景：投资者初始财富 W_0 = 100万元，面对上述投资机会，在不同风险厌恶系数下计算最优投资比例。

计算设定：

• 收益率 R：60%概率 +100%，40%概率 -100%
• 最大化 E[U(W_0(1 + fR))]

情形一：γ = 0（风险中性）
[
E[U] = E[W] = 100 \times (1 + 0.2f)
]
对任意 f，期望财富随 f 递增，因此最优 f = 100%（全部投入）。

情形二：γ = 1（对数效用，即凯利假设）
[
E[\ln(W)] = 0.6 \ln(1 + f) + 0.4 \ln(1 - f) + \ln(100)
]
求导并令为零：
[
\frac{0.6}{1+f} - \frac{0.4}{1-f} = 0
]
[
0.6(1-f) = 0.4(1+f)
]
[
0.6 - 0.6f = 0.4 + 0.4f
]
[
0.2 = f
]
最优 f = 20%，与凯利公式一致。

情形三：γ = 2（中度风险厌恶）
最大化：
[
E\left[\frac{W^{1-2}}{1-2}\right] = E[-W^{-1}]
]
等价于最小化 E[W^{-1}]。
计算得最优 f ≈ 13%（精确值需数值求解）。

情形四：γ = 3（高度风险厌恶）
计算得最优 f ≈ 8%。

不同风险厌恶系数的最优比例汇总：

结论：

• 凯利公式（γ=1）是一个客观的参考基准，不是唯一答案
• 个人最优比例取决于自身的风险厌恶程度
• 最实用原则：投资比例应调整到"即使最坏情况发生，也不会影响正常生活"的程度
• 睡前不会焦虑的比例，才是真实的个人最优解

八、布莱克-舒尔斯模型简介

8.1 公式定义

布莱克-舒尔斯模型（Black-Scholes Model）由费雪·布莱克（Fischer Black）和迈伦·舒尔斯（Myron Scholes）于1973年提出，用于欧式期权定价。

欧式看涨期权定价公式：

[
C = S_0 \Phi(d_1) - K e^{-rT} \Phi(d_2)
]

其中：
[
d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}
]
[
d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}
]

参数含义：

• C = 看涨期权价格
• S_0 = 标的资产当前价格
• K = 期权执行价格
• r = 无风险利率
• T = 期权到期时间（年）
• σ = 标的资产收益率波动率（标准差）
• Φ(·) = 标准正态分布的累积分布函数

8.2 核心逻辑

该模型基于以下假设：

• 标的资产价格服从几何布朗运动
• 市场无摩擦（无交易成本、无税收）
• 可以连续交易
• 允许卖空
• 无风险利率恒定
• 标的资产不支付股息

模型的核心思想是：通过构建一个由标的资产和无风险资产组成的复制组合，可以完全复制期权的收益，从而推导出期权的无套利价格。

8.3 与本案例的关系

本投资机会的特点：

• 投入100万元
• 60%概率获得200万元（净收益100万元）
• 40%概率获得0元（损失100万元）

该收益结构类似于一个期权的收益形态：

• 类似于以100万元为执行价的看涨期权
• 成功时收益100万元，失败时归零

因此可以用布莱克-舒尔斯框架进行评估，判断"60%概率获得200万"这一条件是否被合理定价。

简化的二叉树定价（单期）：

风险中性概率：
[
\pi = \frac{(1+r) - d}{u - d}
]
其中 u = 2（成功时倍数），d = 0（失败时倍数）

设 r = 2%：
[
\pi = \frac{1.02 - 0}{2 - 0} = 0.51
]

风险中性下的期权价值：
[
C = \frac{1}{1.02} \times [0.51 \times 100 + 0.49 \times 0] = 50 \text{万元}
]

解读：

• 如果该投资机会的定价低于50万元（即投入小于50万），则存在套利机会
• 当前投入为100万元，高于模型定价的50万元
• 说明该投资机会按风险中性定价偏贵

注意：这是一个简化示例，实际应用中需要多期模型和更精确的参数估计。

九、各公式对比总结

9.1 功能定位对比

9.2 对本案例的综合建议

第一步：判断是否值得参与（夏普/索提诺）

• 夏普比率约0.18，低于一般投资门槛
• 提示：该投资的风险调整后收益不高

第二步：设定上限（凯利公式）

• 最优比例 = 20%
• 这是参考上限，不应超过

第三步：评估破产风险（破产概率公式）

• 全仓破产概率 = 40%
• 20%比例破产概率 = 13%
• 10%比例破产概率 ≈ 1.7%

第四步：结合个人情况调整（效用函数）

• 风险中性者：考虑100%（不推荐）
• 一般投资者：建议10%-20%
• 保守投资者：建议5%-10%
• 核心原则：亏损不会影响正常生活的比例

9.3 核心结论

针对初始案例中"投100万，60%得200万，40%赔光"的投资机会：

最终建议：

• 凯利公式提供的是理论最优上限（20%），不是强制比例
• 实际比例应低于20%，具体取决于个人风险承受能力
• 建议范围：10%-15%是多数投资者的合理区间
• 任何情况下不应全仓参与